Question

4．设F为椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左焦点，A，B，C为椭圆上的三点，若$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，则|$\overrightarrow{FA}$|+|$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FC}$|=3．

Answer 1

分析 由椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1焦点在x轴，求得左焦点为F（-2$\sqrt{3}$，0），设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）．根据，利用向量的坐标运算得到x₁+x₂+x₃=-9．则$\overrightarrow{FA}$=a+ex₁=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁，$\overrightarrow{FB}$=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₂，$\overrightarrow{FC}$=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₃，由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由椭圆的第二定义算出$\overrightarrow{FA}$=a+ex₁=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁，同理得到$\overrightarrow{FB}$=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₂，$\overrightarrow{FC}$=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₃，相加并代入前面证出的等式，即可算出|$\overrightarrow{FA}$|+|$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FC}$|的值．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1焦点在x轴上，a=4，b=2，c=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∴椭圆的左焦点为F（-2$\sqrt{3}$，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
∴$\overrightarrow{FA}$=（x₁+2$\sqrt{3}$，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂+2$\sqrt{3}$，y₂），$\overrightarrow{FC}$=（x₃+2$\sqrt{3}$，y₃），
∵$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴（x₁+2$\sqrt{3}$）+（x₂+2$\sqrt{3}$）+（x₃+2$\sqrt{3}$）=0，可得x₁+x₂+x₃=-6$\sqrt{3}$．
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由椭圆的第二定义，
得：$\overrightarrow{FA}$=a+ex₁=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁，同理得到$\overrightarrow{FB}$=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₂，$\overrightarrow{FC}$=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₃，
∴|$\overrightarrow{FA}$|+|$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FC}$|=12+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x₁+x₂+x₃）=12+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（-6$\sqrt{3}$）=3．
故答案为：3．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查了向量的坐标运算、椭圆的第二定义与简单几何性质等知识，考查计算能力，属于中档题．