Question

6．如图已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0）．设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$的最小值；
（2）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：丨OR丨•丨OS丨为定值．

Answer 1

分析 （1）T（-2，0）．点M与点N关于x轴对称，设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），不妨设y₁＞0．由于点M在椭圆C上，${y}_{1}^{2}$=1-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$，可得$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=$\frac{5}{4}（{x}_{1}+\frac{8}{5}）^{2}$-$\frac{1}{5}$，由于-2＜x₁＜2，可得$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$取得最小值．
（2）设P（x₀，y₀），则直线MP的方程为：y-y₀=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$（x-x₀），令y=0，得x_R=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$，同理：x_S=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$，x_R•x_S=$\frac{{x}_{1}^{2}{y}_{0}^{2}-{x}_{0}^{2}{y}_{1}^{2}}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$，又点M与点P在椭圆上，故${x}_{0}^{2}=4（1-{y}_{0}^{2}）$，${x}_{1}^{2}$=4$（1-{y}_{1}^{2}）$，代入丨OR丨•丨OS丨=|x_R•x_S|，化简即可证明．

解答 （1）解：依题意，得a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，T（-2，0）．
点M与点N关于x轴对称，
设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），不妨设y₁＞0．
由于点M在椭圆C上，∴${y}_{1}^{2}$=1-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$，（*）
$\overrightarrow{TM}$=（x₁+2，y₁），$\overrightarrow{TN}$=（x₁+2，-y₁），
∴$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=（x₁+2）²-${y}_{1}^{2}$
=$（{x}_{1}+2）^{2}-（1-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}）$=$\frac{5}{4}（{x}_{1}+\frac{8}{5}）^{2}$-$\frac{1}{5}$，
由于-2＜x₁＜2，
故当${x}_{1}=-\frac{8}{5}$时，$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$取得最小值为-$\frac{1}{5}$．
（2）证明：设P（x₀，y₀），
则直线MP的方程为：y-y₀=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$（x-x₀），
令y=0，得x_R=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$，
同理：x_S=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$，
故x_R•x_S=$\frac{{x}_{1}^{2}{y}_{0}^{2}-{x}_{0}^{2}{y}_{1}^{2}}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$，（**）
又点M与点P在椭圆上，故${x}_{0}^{2}=4（1-{y}_{0}^{2}）$，${x}_{1}^{2}$=4$（1-{y}_{1}^{2}）$，
代入（**）式，得：x_R•x_S=$\frac{4（1-{y}_{1}^{2}）{y}_{0}^{2}-4（1-{y}_{0}^{2}）{y}_{1}^{2}}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$=$\frac{4（{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}）}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$=4．
∴丨OR丨•丨OS丨=|x_R•x_S|=4为定值．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．