Question

1．在平面直角坐标系xOy中，曲线${C_1}：{（x-2）^2}+{（y-2）^2}=8$，曲线${C_2}：{x^2}+{y^2}={r^2}（0＜r＜4）$，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=α$（0＜α＜\frac{π}{2}）$与曲线C₁交于O，P两点，与曲线C₂交于O，N两点，且|PN|最大值为$2\sqrt{2}$
（1）将曲线C₁与曲线C₂化成极坐标方程，并求r的值；
（2）射线$θ=α+\frac{π}{4}$与曲线C₁交于O，Q两点，与曲线C₂交于O，M两点，求四边形MNPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用直角坐标与极坐标互化方法将曲线C₁与曲线C₂化成极坐标方程，利用|PN|最大值为$2\sqrt{2}$求r的值；
（2）${S_{四边形}}={S_{△OPQ}}-{S_{△OMN}}=\frac{1}{2}OP•OQsin\frac{π}{4}-\frac{1}{2}OM•ONsin\frac{π}{4}$，利用三角函数知识求四边形MNPQ面积的最大值．

解答 解：（1）曲线${C_1}：{（x-2）^2}+{（y-2）^2}=8$，极坐标方程${C_1}：ρ=4\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
曲线${C_2}：{x^2}+{y^2}={r^2}（0＜r＜4）$，极坐标方程C₂：ρ=r
$|PN|=|{ρ_P}-{ρ_N}|=|4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）-r{|_{max}}$=$2\sqrt{2}$，
∴$r=2\sqrt{2}$，∴${C_2}：ρ=2\sqrt{2}$…（4分）
（2）${S_{四边形}}={S_{△OPQ}}-{S_{△OMN}}=\frac{1}{2}OP•OQsin\frac{π}{4}-\frac{1}{2}OM•ONsin\frac{π}{4}$
=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）×4\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{2}）×\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
=4$\sqrt{2}$sin（2$α+\frac{π}{4}$）+4-2$\sqrt{2}$
当$α=\frac{π}{8}$时，面积的最大值为$4+2\sqrt{2}$…（6分）

点评 本题考查直角坐标与极坐标互化，考查三角函数知识，属于中档题．