Question

13．已知直线l：4x+3y+15=0，半径为3的⊙C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）如图过点M（1，0）的直线与圆C交于A、B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在顶点N，使得x轴评分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出圆心C坐标，根据直线l与圆C相切，得到圆心到直线l的距离d=r，确定出圆心C坐标，即可得出圆C方程；
（2）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x-1），联立圆与直线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x轴平分∠ANB，则k_AN=-k_BN，求出t的值，确定出此时N坐标即可．

解答 解：（1）设圆心C（a，0）（a＞-$\frac{15}{4}$），
∵直线l：4x+3y+15=0，半径为3的圆C与l相切，
∴d=r，即$\frac{|4a+15|}{5}$=3，
解得：a=0或a=-$\frac{15}{2}$（舍去），
则圆C方程为x²+y²=9；
（2）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，
若x轴平分∠ANB，则k_AN=-k_BN，即$\frac{k（{x}_{1}-1）}{{x}_{1}-t}$+$\frac{k（{x}_{2}-1）}{{x}_{2}-t}$=0，
整理得：2x₁x₂-（t+1）（x₁+x₂）+2t=0，即$\frac{2（{k}^{2}-9）}{{k}^{2}+1}$-$\frac{2{k}^{2}（t+1）}{{k}^{2}+1}$+2t=0，
解得：t=9，
当点N（0，0），能使得∠ANM=∠BNM总成立．

点评 此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及斜率的计算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．