Question

18．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．在极坐标系中，设点P为曲线C₁：ρ=2cosθ上的任意一点，点Q在射线OP上，且满足|OP|•|OQ|=6，记Q点的轨迹为C₂．
（1）求曲线C₂的直角坐标方程；
（2）直线l：θ=$\frac{π}{3}$分别交C₁与C₂交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用点P为曲线C₁：ρ=2cosθ上的任意一点，|OP|•|OQ|=6，可得$\frac{6}{ρ}$=2cosθ，即可求曲线C₂的直角坐标方程；
（2）直线l：θ=$\frac{π}{3}$分别交C₁与C₂交于A，B两点，求出A，B的坐标，即可求|AB|．

解答 解：（1）设P（ρ₁，θ），Q（ρ，θ），∴ρ₁=$\frac{6}{ρ}$，
∵点P为曲线C₁：ρ=2cosθ上的任意一点，∴$\frac{6}{ρ}$=2cosθ，∴x=3
∴曲线C₂的直角坐标方程为x=3；
（2）直线l：θ=$\frac{π}{3}$与ρ=2cosθ联立可得A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），与曲线C₂联立，可得B（3，3$\sqrt{3}$）
∴|AB|=$\sqrt{（3-\frac{1}{2}）^{2}+（3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=5．

点评 本题考查极坐标方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．