Question

7．已知圆C：x²+y²=5．
（1）求直线y=x+2被圆C截得的弦长；
（2）求过点$N（\begin{array}{l}{1，}3\end{array}）$的圆的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆心C到直线y=x+2的距离，利用勾股定理求直线y=x+2被圆C截得的弦长；
（2）设所求的切线方程为y-3=k（x-1），即kx-y+3-k=0，由$d=\sqrt{5}=\frac{{|{3-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，整理得2k²+3k-2=0，求出k，即可求过点$N（\begin{array}{l}{1，}3\end{array}）$的圆的切线方程．

解答 解：（1）圆心C（0，0），半径$r=\sqrt{5}$，…（2分）
圆心C到直线y=x+2的距离$d=\sqrt{2}$，弦长$|{AB}|=2\sqrt{5-2}=2\sqrt{3}$．…（4分）
（2）设所求的切线方程为y-3=k（x-1），即kx-y+3-k=0，
由$d=\sqrt{5}=\frac{{|{3-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，整理得2k²+3k-2=0，解得k₁=-2，${k_2}=\frac{1}{2}$，
两条直线方程为2x+y-5=0，x-2y+5=0． …（8分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．