Question

12．设函数f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x²+m在[-1，1]上的最大值为$\frac{2}{3}$．
（1）求实数m的值；
（2）求函数f（x）在[-2，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=x（x-2），当x∈（-1，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，由此能求出m．
（2）由函数f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x²+$\frac{2}{3}$，f′（x）=x（x-2），利用导数性质能求出函数f（x）在[-2，2]上的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x²+m，
∴f′（x）=x（x-2），
当x∈（-1，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，
∵函数f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x²+m在[-1，1]上的最大值为$\frac{2}{3}$，
∴f（0）=m=$\frac{2}{3}$．
（2）由（1）得函数f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x²+$\frac{2}{3}$，
∴f′（x）=x（x-2），
由f′（x）=0，得x₁=0，x₂=2，
∵f（-2）=-6，f（0）=$\frac{2}{3}$，f（2）=-$\frac{2}{3}$，
∴函数f（x）在[-2，2]上的值域为[-6，$\frac{2}{3}$]．

点评 本题考查实数值的求法，考查函数在闭区间上的值域的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．