Question

17．若函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a∈R）在（1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（-∞，1]．

Answer 1

分析 由函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，可得f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立．即x-$\frac{a}{x}$≥0，?a≤2x²_min，x∈（1，+∞）．利用二次函数的单调性求出即可

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx，（a∈R）．f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，
∵函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立．
∴x-$\frac{a}{x}$≥0，x∈（1，+∞）?a≤x²_min，x∈（1，+∞）．
令g（x）=x²，则g（x）在（1，+∞）单调增函数．
∴g（x）＜g（1）=1．
∴a≤1．
故答案为：（-∞，1]．

点评 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、等价转化、二次函数的性质等是解题的关键．