Question

8．已知二次函数f（x）=ax²+bx+1，若f（-1）=1且f（x）＜2恒成立，则实数a的取值范围是（-4，0]．

Answer 1

分析 f（x）＜2可化为ax²+ax-1＜0．讨论a是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求．

解答 解：∵f（-1）=1，∴a-b+1=1，∴b=a，
f（x）＜2可化为ax²+ax-1＜0
当a=0时，-1＜0恒成立，故满足条件；
当a≠0时，对于任意实数x，不等式ax²-ax-1＜0恒成立
则$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{{a}^{2}+4a＜0}\end{array}\right.$，解得-4＜a＜0
综上所述，-4＜a≤0
故答案为：（-4，0]．

点评 本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．