Question

19．已知f（x）=x²+2x-4+$\frac{a}{x}$．
（1）若a=4，求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）有三个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出导函数，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调性区间，
（2）已知条件转化为函数有两个极值点，并且极小值小于0，极大值大于0，求解即可．

解答 解：（1）当a=4时，f（x）=x²+2x-4+$\frac{4}{x}$，x≠0，
∴f′（x）=2x+2-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{2（{x}^{3}+{x}^{2}-2）}{{x}^{2}}$=$\frac{2（x-1）（{x}^{2}+2x+2）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得x＞1，函数单调递增，
当f′（x）＜0，解得x＜1且x≠0，函数单调递减，
∴f（x）在（1，+∞）单调递增，在（-∞，0）或（0，1）上单调递减；
（2）f（x）有三个零点，即f（x）=x²+2x-4+$\frac{a}{x}$=0有3个解，
即x³+2x²-4x+a=0，有3个非0的解，
设g（x）=x³+2x²-4x+a=0，x≠0，
则函数g（x）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0；
由g′（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）=0，解得x₁=-2，x₂=$\frac{2}{3}$，
∴x∈（-∞，-2）或（$\frac{2}{3}$，+∞），g′（x）＞0，
x∈（-2，0）或（0，$\frac{2}{3}$），g′（x）＜0，
∴函数的极小值g（$\frac{2}{3}$）=a-$\frac{40}{27}$和极大值f（-2）=a+8．
∵函数g（x）=x³+2x²-4x+a有三个不同的零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+8＞0}\\{a-\frac{40}{27}＜0}\end{array}\right.$，解之，得-8＜a＜$\frac{40}{27}$．
而当a=0时，g（x）=x³+2x²-4x=x（x²+2x-4）=0，只有2个零点，
故实数a的取值范围是（-8，0）∪（0，$\frac{40}{27}$）．

点评 本题考查函数的导数与函数的极值的关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．