Question

13．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线是直线l：x=-2，焦点是F．
（1）求抛物线C的方程．
（2）若l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，且M到焦点F的距离为8，求△AFM的面积S．

Answer 1

分析 （1）由抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线是直线l：x=-2，求出p，即可求抛物线C的方程．
（2）设抛物线上的点M（x₀，y₀），求得|MF|，再由三角形的面积公式计算可得结论．

解答 解：（1）由已知得：$-\frac{p}{2}=-2∴p=4$---------------------------------------------（2分）
所以抛物线C的方程是：y²=8x----------------------------------------------（4分）
（2）由已知得：A（-2，0），F（2，0），所以|AF|=4-------------------------（6分）
设抛物线上的点M（x₀，y₀），
由抛物线的定义知：$|{MF}|={x_0}+\frac{p}{2}={x_0}+2=8∴{x_0}=6$-------------------------------------------（8分）
代入$y_0^2=8{x_0}$，得$y_0^2=8×6=48∴|{y_0}|=4\sqrt{3}$----------------------------（10分）∴$S=\frac{1}{2}|{AF}||{y_0}|=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$-----------------------------------------（12分）

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查准线方程和焦点坐标，同时考查三角形的面积计算，属于基础题．