Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右顶点到直线x+y-$\sqrt{2}$=0的距离为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点M（0，-1）作直线l交椭圆于A、B两点，交x轴于N点，且满足$\overrightarrow{NA}$=-$\frac{7}{5}$$\overrightarrow{NB}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的右顶点为（a，0）（a＞0），则$\frac{|a-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1，解得a．又离心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，解出即可得出椭圆的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0），由$\overrightarrow{NA}$=-$\frac{7}{5}$$\overrightarrow{NB}$，可得y₁=-$\frac{7}{5}$y₂．易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时，不成立．于是设直线l的方程为y=kx-1（k≠0），与椭圆方程联立消去x得（4k²+1）y²+2y+1-8k²=0，利用根与系数的关系解得k，即可得出．

解答 解：（1）设椭圆的右顶点为（a，0）（a＞0），则$\frac{|a-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1，
解得a=2$\sqrt{2}$或a=0（舍去）．  
又离心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故c=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0），
∵$\overrightarrow{NA}$=-$\frac{7}{5}$$\overrightarrow{NB}$，∴（x₁-x₀，y₁）=-$\frac{7}{5}$（x₂-x₀，y₂），y₁=-$\frac{7}{5}$y₂．①
易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，
于是设直线l的方程为y=kx-1（k≠0），联立方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx-1}\end{array}\right.$，
消去x得（4k²+1）y²+2y+1-8k²=0，②
∵△＞0，∴直线与椭圆相交，
于是y₁+y₂=-$\frac{2}{4{k}^{2}+1}$，③y₁y₂=$\frac{1-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，④
由①③得，y₂=$\frac{5}{4{k}^{2}+1}$，y₁=-$\frac{7}{4{k}^{2}+1}$，
代入④整理得8k⁴+k²-9=0，k²=1，k=±1，
∴直线l的方程是y=x-1或y=-x-1．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量坐标运算性质、点到直线的距离公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．