Question

3．三棱ABC-A₁B₁C₁，A₁A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，且，D为AC中点．
（1）求证：平面BC₁D⊥平面AA₁CC₁
（2）若AA₁=AB=2，求点A到面BC₁D的距离．

Answer 1

分析 （1）面面垂直转化为线面垂直，要证明平面BC₁D⊥平面AA₁CC₁，只需证BD⊥平面AA₁CC₁即可．
（2）利用体积法求解．${V}_{A-B{C}_{1}D}={V}_{{C}_{1}-ABD}$，A₁A⊥底面ABC，可得高为A₁A．可得点A到面BC₁D的距离

解答 解：（1）∵AA₁⊥面ABC，AA₁⊥BD，△ABC为正三角形，D为AC中点．易得BD⊥AC，
∴BD⊥面AA₁CC₁，又BD?面BC₁D，
∴平面BC₁D⊥平面AA₁CC₁
（2）由题意：AA₁=AB=2，
∵${V}_{A-B{C}_{1}D}={V}_{{C}_{1}-ABD}$，A₁A⊥⊥面ABC，
∴${V}_{{C}_{1}-ABD}$=△ABD×A₁A=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
设点A到面BC₁D的距离为h，
则：$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{5}×h$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解得：h=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
故得点A到面BC₁D的距离为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了面面垂直转化为线面垂直证明和利用体积法求解点到面的距离．属于中档题．