Question

3．已知极坐标系的极点与直角坐标系的坐标原点重合、极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设直线l与圆ρ=2相交于A，B两点，求点P（1，1）到A，B两点的距离之积．

Answer 1

分析 （1）根据直线l的极坐标方程，求出直线的参数方程．
（2）设A，B对应的参数为t₁和t₂，以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到t²+（-3-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）t+$\frac{13}{3}$=0，由|PA|•|PB|=|t₁t₂|求出点P到A、B两点的距离之积．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，直角坐标方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}+tcos\frac{π}{6}}\\{y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}+tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t为参数）；
（2）因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t₁和t₂，
圆化为直角坐标系的方程   x²+y²=4，
以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到 t²+（-3-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）t+$\frac{13}{3}$=0  ①，
因为t₁和t₂是方程①的解，从而 t₁t₂=$\frac{13}{3}$．
所以，|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{13}{3}$．

点评 本题考查直线的参数方程以及参数的几何意义，极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义是解题的关键．