Question

18．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，AA₁=$\sqrt{2}$，E，F分别是BC，CC₁的中点．
（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-AEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AE⊥BB₁，AE⊥BC，由此能证明平面AEF⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）${S}_{△{B}_{1}EF}$=${S}_{矩形B{B}_{1}{C}_{1}C}$-${S}_{△B{B}_{1}E}$-S_△EFC-${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}F}$，三棱锥B₁-AEF的体积${V}_{{B}_{1}-AEF}={V}_{A-{B}_{1}EF}$，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，AA₁=$\sqrt{2}$，
∴BB₁⊥平面ABC，
又AE?平面ABC，∴AE⊥BB₁，
∵E，F分别是BC，CC₁的中点，
∴AE⊥BC，
又BB₁∩BC=B，
则AE⊥平面B₁BCC₁．
AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁．
解：（Ⅱ）${S}_{△{B}_{1}EF}$=${S}_{矩形B{B}_{1}{C}_{1}C}$-${S}_{△B{B}_{1}E}$-S_△EFC-${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}F}$
=$2×\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}-\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴三棱锥B₁-AEF的体积：
${V}_{{B}_{1}-AEF}={V}_{A-{B}_{1}EF}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{B}_{1}EF}×AE$=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{4}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．