Question

3．某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学科提供5种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5，每个学生只能从这5种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表：

课程	数学1	数学2	数学3	数学4	数学5	合计
选课人数	180	540	540	360	180	1800

为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取了10人进行分析．
（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率；
（2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为X，选择数学1的人数为Y，设随机变量ξ=X-Y，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）从选出的10名学生中选修数学1的人应为10×$\frac{180}{1800}$=1人，同理可得选修数学2的人应为3人，选修数学3的人应为3人，选修数学4的人应为1人，选修数学1的人应为1人．从选出的10名学生中随机抽取3人共有${∁}_{10}^{3}$=120种选法，选出的这3人中至少有2人选择数学2的有${∁}_{3}^{2}•{∁}_{7}^{1}$+${∁}_{3}^{3}$=22种，即可得出这3人中至少有2人选择数学2的概率P．
（2）X的可能取值为0，1，2，3．Y的可能取值为0，1．ξ的可能取值为-1，0，1，2，3．P（ξ=-1）=P（X=0，Y=1）=$\frac{{∁}_{1}^{1}•{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{10}^{3}}$，P（ξ=0）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）=$\frac{{∁}_{6}^{3}+{∁}_{3}^{1}{∁}_{1}^{1}{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$．P（ξ=1）=P（X=1，Y=0）+P（X=2，Y=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{6}^{2}+{∁}_{3}^{2}{∁}_{1}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$．P（ξ=2）=P（X=2，Y=0）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$．P（ξ=3）=P（X=3，Y=0）=$\frac{{∁}_{3}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$．即可得出ξ的分布列及其Eξ．

解答 解：（1）从选出的10名学生中选修数学1的人应为10×$\frac{180}{1800}$=1人，选修数学2的人应为10×$\frac{540}{1800}$=3人，选修数学3的人应为10×$\frac{540}{1800}$=3人，选修数学4的人应为10×$\frac{360}{1800}$=1人，选修数学1的人应为10×$\frac{180}{1800}$=1人．
从选出的10名学生中随机抽取3人共有${∁}_{10}^{3}$=120种选法，选出的这3人中至少有2人选择数学2的有${∁}_{3}^{2}•{∁}_{7}^{1}$+${∁}_{3}^{3}$=22种
，∴这3人中至少有2人选择数学2的概率P=$\frac{22}{120}$=$\frac{11}{60}$．
（2）X的可能取值为0，1，2，3．Y的可能取值为0，1．ξ的可能取值为-1，0，1，2，3．
P（ξ=-1）=P（X=0，Y=1）=$\frac{{∁}_{1}^{1}•{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{8}$．
P（ξ=0）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）=$\frac{{∁}_{6}^{3}+{∁}_{3}^{1}{∁}_{1}^{1}{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{19}{60}$．
P（ξ=1）=P（X=1，Y=0）+P（X=2，Y=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{6}^{2}+{∁}_{3}^{2}{∁}_{1}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{2}{5}$．
P（ξ=2）=P（X=2，Y=0）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{20}$．
P（ξ=3）=P（X=3，Y=0）=$\frac{{∁}_{3}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$．ξ的分布列为：

ξ	-1	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{19}{60}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{120}$

∴Eξ=-1×$\frac{1}{8}$+0×$\frac{19}{60}$+1×$\frac{2}{5}$+2×$\frac{3}{20}$+3×$\frac{1}{120}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了古典概率计算公式、相互独立与互斥事件的概率计算公及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．