Question

14．已知F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，A是其上顶点，且△AF₁F₂是等腰直角三角形，延长AF₂与椭圆C交于另一点B，若△AF₁B的面积是8，则椭圆C的方程是$\frac{x^2}{{{{12}^{\;}}}}+\frac{y^2}{6}=1$．

Answer 1

分析 由△AF₁F₂是等腰直角三角形，可得b=c，可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{2b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（b＞0）．在Rt△ABF₁中，由勾股定理可得：丨AF₁丨²+|AB|²=丨F₂B丨²，|AF₂|=|AF₁|=$\sqrt{2}$b，设|BF₂|=m，则|BF₁|=2a-m=2$\sqrt{2}$b-m，2b²+（$\sqrt{2}$b+m）²=（2$\sqrt{2}$b-m）²，又S=$\frac{1}{2}$丨AF₁丨•丨AB丨=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$b+m）=8，联立解出即可得出b²，即可求得椭圆C的标准方程．

解答 解：∵△AF₁F₂是等腰直角三角形，b=c，
可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{2b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（b＞0）．
在Rt△ABF₁中，由勾股定理可得：丨AF₁丨²+|AB|²=丨F₂B丨²，
|AF₂|=|AF₁|=$\sqrt{2}$b，设|BF₂|=m，则|BF₁|=2a-m=2$\sqrt{2}$b-m，
代入可得：2b²+（$\sqrt{2}$b+m）²=（2$\sqrt{2}$b-m）²，
又△AF₁B的面积S=$\frac{1}{2}$丨AF₁丨•丨AB丨=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$b+m）=8，
联立解得：b²=6，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{{{{12}^{\;}}}}+\frac{y^2}{6}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{{{{12}^{\;}}}}+\frac{y^2}{6}=1$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．