Question

5．已知f（x）=x²+alog₂（x²+2）+a²-2有唯一零点，则实数a的值为1．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质得到方程f（x）=0的根为0，解方程即可得到结论．

解答 解：∵f（x）=x²+alog₂（x²+2）+a²-2，则函数f（x）为偶函数，
方程x²+alog₂（x²+2）+a²-2=0有唯一解，等价为f（x）=0有唯一的解x=0，
则alog₂2+a²-2=a+a²-2=0，得a=-2 或a=1．
当a=-2时，f（x）=x² -2log₂（x²+2）+2，由于f（$\sqrt{2}$）=0，此时，函数f（x）不止一个零点，
不满足条件，故舍去．
当a=1 时，f（x）=x²+log₂（x²+2）-1，在[0，+∞）上单调递增，且f（0）=0，满足条件，
故答案为：1．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，利用函数奇偶性的性质得到方程的根是解决本题的关键，属于中档题．