Question

17．已知函数f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{1+x}$．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈（-1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时，$f（x）=ln（1+x）-\frac{2x}{1+x}$，f（1）=ln2-1，k=f′（1）=0，由此能求出切线方程．
（Ⅱ）${f^'}（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{{a（{x+1}）-ax}}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{x+1-a}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{{x-（{a-1}）}}{{{{（{x+1}）}^2}}}$，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出当且仅当a=1时f（x）≥0恒成立．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，$f（x）=ln（1+x）-\frac{2x}{1+x}$，f（1）=ln2-1，…（1分），
${f^'}（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{{2（{x+1}）-2x}}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{x-1}{{{{（{1+x}）}^2}}}$，…（2分）
∴k=f′（1）=0，…（3分）
∴切线方程为y=ln2-1．…（4分）
（Ⅱ）${f^'}（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{{a（{x+1}）-ax}}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{x+1-a}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{{x-（{a-1}）}}{{{{（{x+1}）}^2}}}$．
①当a≤0时，a-1≤-1，又x∈（-1，+∞），
∴x-（a-1）＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）上为增函数，…（6分）
又∵f（0）=0，∴当-1＜x＜0时，f（x）＜0，与题意不符．…（7分）
②当a＞0，令f′（x）=0，得x=a-1＞-1，
且-1＜x＜a-1时，f′（x）＜0，x＞a-1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=a-1时有极小值，也是最小值，
∴f（x）_min=f（a-1）=lna-a+1≥0，…（9分）
记g（x）=lnx-x+1，则${g^'}（x）=\frac{1}{x}-1=-\frac{x-1}{x}$，
令g′（x）=0，得x=1，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，
∴g（x）在x=1处有极大值就是最大值为g（1）=0，…（11分）
∴lna-a+1最大值为0，
又lna-a+1≥0，故a=1，
即当且仅当a=1时f（x）≥0恒成立．…（12分）

点评 本题考查切线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．