Question

15．已知三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=2，AC=BC=1，则三棱锥P-ABC外接球的体积为$\sqrt{6}π$．

Answer 1

分析 取PB的中点O，推导出O为外接球的球心，从而得到外接球半径R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，由此能求出结果．

解答 解：取PB的中点O，∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥BC，
又BC⊥AC，PC∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，∴OA=$\frac{1}{2}PB$，OC=$\frac{1}{2}$PB，
∴OA=OB=OC=OP，
∴O为外接球的球心，
又PA=2，AC=BC=1，
∴AB=$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{6}$，
∴外接球半径R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴${V}_{球}=\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{4}{3}π×（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{3}$=$\sqrt{6}$π．
故答案为：$\sqrt{6}π$．

点评 本题考查三棱锥外接球的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．