Question

20．已知奇函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＞0时有2f（x）+xf′（x）＞x²，则不等式（x+2014）²f（x+2014）+4f（-2）＜0的解集为（　　）

• A． （-∞，-2012）
• B． （-2016，-2012）
• C． （-∞，-2016）
• D． （-2016，0）

Answer 1

分析 构造函数F（x）=x²f（x），根据导数求出函数的单调区间，再由（x+2014）²f（x+2014）+4f（-2）＜0转化为F（x+2014）＜-F（-2）=F（2），解得即可．

解答 解：由2f（x）+xf′（x）＞x²，（x＞0）；
得：2xf（x）+x²f′（x）＞x³
即[x²f（x）]′＞x³＞0；
令F（x）=x²f（x）；
则当x＞0时，F'（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵f（x）为奇函数，
∴F（x）=x²f（x）为奇函数，
∴F（x）在（-∞，0）上是增函数，
∴F（x+2014）=（x+2014）²f（x+2014），F（-2）=4f（-2）；
即不等式等价为F（x+2014）+F（-2）＜0；
即F（x+2014）＜-F（-2）=F（2），
∴x+2014＜2，∴x＜-2012；
∴原不等式的解集是（-∞，-2012）．
故选：A．

点评 本题考查函数的单调性与导数的关系，两个函数乘积的导数的求法，而构造函数是解本题的关键．