Question

10．如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．
（1）求证：BD⊥平面AED；
（2）若△EAD中，AE=ED，∠EAD=45°，求二面角F-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BD⊥AD，AE⊥BD，由此能证明BD⊥面AED．
（2）以D为坐标原点，DA，DB为x轴，y轴，过点D作CF的平行线为Z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-BD-E的余弦值．

解答 证明：（1）∵AB∥CD，∠DAB=60°，
∴∠DCB=120°，
∵CD=CB，∴∠CDB=30°，∴BD⊥AD，
∵AE⊥BD，AE∩AD=A，AE?面AED，
∴BD⊥面AED．
解：（2）以D为坐标原点，DA，DB为x轴，y轴，
过点D作CF的平行线为Z轴，建立空间直角坐标系，
设CD=CB=2，则$DB=2\sqrt{3}，AD=2$，
由条件得：$AE=\sqrt{2}=ED$，作EH⊥AD，
则由已知得EH⊥平面ABCD，且EH=DH=1．
∴$E（1，0，1），F（-1，\sqrt{3}，2），B（0，2\sqrt{3}，0）$，
设面DBE的法向量$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{y=0}\\{x+0+z=0}\end{array}}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n_1}=（1，0，-1）$．
设面DBF的法向量$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{y=0}\\{-x+0+2z=0}\end{array}}\right.$，则取x=2，得$\overrightarrow{n_2}=（2，0，1）$．
∵$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴二面角F-BD-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．