Question

19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{3}+{y^2}$=1，斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，则直线l的方程为y=x±1．

Answer 1

分析 设出直线方程y=x+m，代入x²+3y²=3，结合题设条件利用椭圆的弦长公式能求出m，得到直线方程．

解答 解：椭圆：$\frac{x^2}{3}+{y^2}$=1，即：x²+3y²=3
l：y=x+m，代入x²+3y²=3，
整理得4x²+6mx+3m²-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{6m}{4}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{4}$，
|AB|=$\sqrt{1+{1}^{2}}$•|x₁-x₂|
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}×\sqrt{（-\frac{6m}{4}）^{2}-4×\frac{3{m}^{2}-3}{4}}$=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，．
解得：m=±1．
直线l：y=x±1．
故答案为：y=x±1．

点评 本题考查椭圆弦长的求法，解题时要注意弦长公式，考查计算能力以及分析问题解决问题的能力．