Question

4．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）求函数f（x）的单调区间，并比较3ⁿ与π³的大小；
（2）若正实数a满足对任意x∈（0，+∞）都有ax²f（x）+1≥0，求正实数a的最大值．

Answer 1

分析 （1）先求导，根据函数的单调性得到f（x）在（e，+∞）递减，即可得到（3）＞f（π），代入化简，整理即可证明，
（2）分离参数，构造函数，根据导数和函数的最值的关系求出答案即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得：0＜x＜e；由f′（x）＜0得：x＞e，
∴f（x）的递增区间为（0，e），递减区间为（e，+∞），
∵f（x）在（e，+∞）递减，
∴f（3）＞f（π），
∴$\frac{ln3}{3}$＞$\frac{lnπ}{π}$，
∴πln3＞3lnπ，
∴ln3^π＞lnπ³，
∴3^π＞π³，
（2）由ax²f（x）+1≥0，
∵a＞0，
∴-$\frac{1}{a}$≤xlnx．
令g（x）=xlnx，
则g′（x）=lnx+1，
由g′（x）＞0得：x＞$\frac{1}{e}$；由g′（x）＜0得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴g（x）在区间（0，$\frac{1}{e}$）上递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上递增，
∴g（x）取得最小值为g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
∴-$\frac{1}{a}$≤-$\frac{1}{e}$，
∴a≤e
∴正实数a的最大值为e

点评 本题考查了导数和函数的单调性和最值的关系，以及函数单调性的应用和和函数恒成立的问题，属于中档题．