Question

16．已知F₁（-1，0），F₂（1，0），且△PF₁F₂的周长为6．
（Ⅰ）求动点P轨迹C的方程；
（Ⅱ）若不过原点的直线l：y=kx+m与曲线C交于两个不同的点A、B，M为AB的中点，且M到F₂的距离等于到直线x=-1的距离，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由F₁（-1，0），F₂（1，0），则|F₁F₂|=2，则|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2，点P轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆（不包括左右顶点），设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（y≠0）$，由a=2，c=1，b²=a²-c²=4-1=3，即可求得动点P轨迹C的方程；
（Ⅱ）当k=0显然不符合题意，当k≠0时，设直线l：y=kx+m，代入椭圆方程，△＞0，整理得4k²-m²+3＞0，由韦达定理可知${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{4{k^2}+3}}=2{x_0}$，即可求得y₀=$\frac{3m}{4{k}^{2}+3}$，由M（x₀，y₀）在抛物线E：y²=4x上，由$m≠0∴m=-\frac{16}{9}{k^2}（4{k^2}+3）$，代入可知256k²（4k²+3）＜81，即可求得k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由F₁（-1，0），F₂（1，0），则|F₁F₂|=2，
△PF₁F₂的周长为6，则|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2，
∴点P轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆（不包括左右顶点），
设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（y≠0）$，
∵2a=4，2c=2，即a=2，c=1，
由b²=a²-c²=4-1=3，
∴轨迹C的方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（y≠0）$；…（6分）
（Ⅱ）当k=0显然不符合题意                                   …（7分）
当k≠0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），设直线l：y=kx+m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1（y≠0）}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
由△＞0，整理得4k²-m²+3＞0…（1）式          …（10分）
由韦达定理得：${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{4{k^2}+3}}=2{x_0}$，
∴${x_0}=-\frac{4km}{{4{k^2}+3}}$，代入y=kx+m，则y₀=$\frac{3m}{4{k}^{2}+3}$，
由条件可知M（x₀，y₀）在抛物线E：y²=4x上，
代入M点坐标
∵$m≠0∴m=-\frac{16}{9}{k^2}（4{k^2}+3）$…（2）式…（12分）
将（2）式代入（1）式得：256k²（4k²+3）＜81，解得k²＜$\frac{3}{32}$，
即-$\frac{\sqrt{6}}{8}$＜k＜$\frac{\sqrt{6}}{8}$，…（14分）
综上所述，k的取值范围为（-$\frac{\sqrt{6}}{8}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{6}}{8}$）．…（15分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查点的轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．