Question

11．某3D打印机，其打出的产品质量按照百分制衡量，若得分不低于85分则为合格品，低于85分则为不合格品，商家用该打印机随机打印了15件产品，得分情况如图；
（1）写出该组数据的中位数和众数，并估计该打印机打出的产品为合格品的概率；
（2）若打印一件合格品可获利54元，打印一件不合格品则亏损18元，记X为打印3件产品商家所获得的利润，在（1）的前提下，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用茎叶图直接求解该组数据的中位数为87，众数为92，打印的15件产品中，合格品有10件，即可求解概率．
（2）随机变量X可以取-54，18，90，162，求出概率，列出分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（1）该组数据的中位数为87，众数为92，打印的15件产品中，合格品有10件，由此可估计该打印机打出的产品为合格品的
概率为$\frac{2}{3}$．…（5分）
（2）随机变量X可以取-54，18，90，162，
P（X=-54）=C₃⁰×（1-$\frac{2}{3}$）³=$\frac{1}{27}$，P（X=18）=C₃¹×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{2}{3}$）²=$\frac{2}{9}$，P（X=90）=C₃²×（$\frac{2}{3}$）²×（1-$\frac{2}{3}$）¹=$\frac{4}{9}$，P（X=162）=C₃³×（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{8}{27}$，
X的分布列为

X	-54	18	90	162
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

∴随机变量X的期望E（X）=（-54）×$\frac{1}{27}$+18×$\frac{2}{9}$+90×$\frac{4}{9}$+162×$\frac{8}{27}$=90．…（12分）．

点评 本题考查离散性随机变量的分布列，以及期望的求法，茎叶图的应用，考查分析问题解决问题的能力．