Question

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3cosAcosB+1=3sinAsinB+cos2C．
（1）求C
（2）若△ABC的面积为5$\sqrt{3}$，b=5，求sinA．

Answer 1

分析 （1）移项，利用两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，二倍角的余弦函数公式，诱导公式化简已知可得2cos²C+3cosC-2=0，进而解得cosC，结合范围0＜C＜π，即可得解C的值．
（2）由已知利用三角形面积公式可求a，由余弦定理可得c的值，进而利用正弦定理即可解得sinA的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵3cosAcosB+1=3sinAsinB+cos2C，
∴3（cosAcosB-sinAsinB）+1=cos2C，
可得：3cos（A+B）+1=cos2C，…2分
∴-3cosC+1=2cos²C-1，
可得：2cos²C+3cosC-2=0，…4分
可得：（2cosC-1）（cosC+2）=0，
∴解得：cosC=$\frac{1}{2}$或cosC=-2（舍去），…5分
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$…6分
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=5$\sqrt{3}$，b=5，C=$\frac{π}{3}$，可得：a=4，…8分
∵由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=16+25-2×$4×5×\frac{1}{2}$=21，可得：c=$\sqrt{21}$，…10分
∴由正弦定理可得：sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$…12分

点评 本题主要考查了两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，二倍角的余弦函数公式，诱导公式，三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．