Question

6．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足$\sqrt{3}$asinC=c（cosA+1）．
（I） 求角A的大小；
（Ⅱ）已知函数f（x）=sin（ωx+A）的最小正周期为π，求f（x）的减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理，化简$\sqrt{3}$asinC=c（cosA+1），即可求出A的值；
（Ⅱ）求出函数f（x）的解析式，根据正弦函数求出f（x）的单调减区间．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，由$\sqrt{3}$asinC=c（cosA+1）得：$\sqrt{3}$sinAsinC=sinC（cosA+1），
∵sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA=cosA+1，
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1
即sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又0＜A＜π，
∴-$\frac{π}{6}$＜A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$
∴A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$
∴A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）函数f（x）=sin（ωx+A）的最小正周期为π，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{7π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调减区间为[$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{7π}{12}$+kπ]，（k∈Z）．

点评 本题考查了正弦定理以及三角函数的化简与性质的应用问题，是中档题．