Question

16．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知：直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}$   （t为参数），曲线C的极坐标方程为（1+sin²θ）ρ²=2．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，若点P为（1，0），求$\frac{1}{|AP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|BP{|}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}$   （t为参数），消去参数t得直线l的普通方程；曲线C的极坐标方程ρ²+ρ²sin²θ=2，化成直角坐标方程为x²+2y²=2；
（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x²+2y²=2，得7t²+4t-4=0，利用参数的几何意义，即可求$\frac{1}{|AP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|BP{|}^{2}}$．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}$   （t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0，
曲线C的极坐标方程ρ²+ρ²sin²θ=2，化成直角坐标方程为x²+2y²=2，即$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．（5分）
（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x²+2y²=2，得7t²+4t-4=0．
设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t₁，t₂，
则t₁+t₂=-$\frac{4}{7}$，t₁t₂=-$\frac{4}{7}$，
∴$\frac{1}{|AP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|BP{|}^{2}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}{|}^{2}}$+$\frac{1}{|{t}_{2}{|}^{2}}$=$\frac{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-2{t}_{1}{t}_{2}}{（{t}_{1}{t}_{2}）^{2}}$=$\frac{9}{2}$．（12分）

点评 本题考查参数方程、极坐标方程的转化，考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，属于中档题．