Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-ax+b，在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y-10=0，求
（1）实数a，b的值；            
（2）函数f（x）的单调区间以及在区间[0，3]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关系，即可求出a，b．
（2）求出导函数的符号，判断函数的单调性以及求解闭区间的函数的最值．

解答 解：（1）因为在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y-10=0，
所以切线斜率是k=-3----------------------（1分）
且9×1+3f（1）-10=0，
求得$f（1）=\frac{1}{3}$，即点$M（1，\;\frac{1}{3}）$----------------------（2分）
又函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-ax+b$，则f′（x）=x²-a----------------------（3分）
所以依题意得$\left\{{\begin{array}{l}{{f^′}（1）=1-a=-3}\\{f（1）=\frac{1}{3}-a+b=\frac{1}{3}}\end{array}}\right.$----------------------（5分）
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=4}\end{array}}\right.$----------------------（6分）
（2）由（1）知$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$
所以f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2）----------------------（7分）
令f′（x）=0，解得x=2或x=-2
当f′（x）＞0⇒x＞2或x＜-2；当f′（x）＜0⇒-2＜x＜2
所以函数f（x）的单调递增区间是（-∞，2），（2，+∞）
单调递减区间是（-2，2）----------------------（9分）
又x∈[0，3]
所以当x变化时，f（x）和f′（x）变化情况如下表：

X	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		-	0	+	0
f（x）	4	↘	极小值$-\frac{4}{3}$	↗	1

所以当x∈[0，3]时，f（x）_max=f（0）=4，
$f{（x）_{min}}=f（2）=-\frac{4}{3}$----------------------（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及闭区间上函数的最值求法，考查转化思想以及计算能力．