Question

11．已知函数f（x）=x³-x+3．
（Ⅰ）求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．
（Ⅱ）求出函数的导数，判断导函数的符号，从而求出函数的单调增区间．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-1，
∴f'（x）=3x²-1，在x=1处的切线斜率k=3•1²-1=2，
又∵f（1）=1³-1+3=3，
∴切线方程为y-3=2（x-1）化简得2x-y+1=0，
（Ⅱ）∵f'（x）=3x²-1=3（x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
令f'（x）=0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，或x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当x∈（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）或x∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）和（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，和函数的单调性，考查运算求解能力、推理能力，属于中档题．