Question

3．已知函数f（x）=$\frac{ax}{e^x}$，其中a＞0，且函数f（x）的最大值是$\frac{1}{e}$
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）=lnf（x）-b有两个零点，求实数b的取值范围；
（3）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜$\frac{1}{{k+2x-{x^2}}}$成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由题意a＞0，讨论f（x）的单调区间，可得f（1）我最大值，解方程可得a的值；
（2）求出g（x）的解析式，求得g（x）的导数，单调区间，可得g（x）的最大值，令最大值大于0，解不等式即可得到b的范围；
（3）由题意可得f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$＜$\frac{1}{k+2x-{x}^{2}}$对任意x∈（0，2）都成立，所以k+2x-x²＞0，即k＞x²-2x对任意x∈（0，2）都成立，从而k≥0，可得k＜$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x，求出单调区间，可得最小值，进而得到k的范围．

解答 解：（1）由题意得函数f（x）=$\frac{ax}{e^x}$的导数为f′（x）=$\frac{a（1-x）}{{e}^{x}}$，
因为a＞0，所以当x∈（-∞，1）时，f′（x）＞0，
y=f（x）在（-∞，1）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
y=f（x）在（1，+∞）单调递减；----------------------（2分）
则$f{（x）_{{m}ax}}=f（1）=\frac{a}{e}=\frac{1}{e}$，则a=1----------------------（3分）
（2）由题意知函数g（x）=lnf（x）-b=lnx-x-b，（x＞0）
所以g′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，----------------------（4分）
易得函数g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以g（x）_max=g（1）=-1-b，
则依题意知-1-b＞0，----------------------（5分）
则b＜-1，所以实数b的取值范围是（-∞，-1）．----------------------（6分）
（3）由题知f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$＜$\frac{1}{k+2x-{x}^{2}}$对任意x∈（0，2）都成立，
所以k+2x-x²＞0，即k＞x²-2x对任意x∈（0，2）都成立，从而k≥0．---------（8分）
又不等式整理可得k＜$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x，
所以g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$+2（x-1）=（x-1）（$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$+2），得x=1，
当x∈（1，2）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，2）上单调递增，
同理，函数g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）_min=g（1）=e-1，
依题意得k＜g（x）_min=g（1）=e-1，----------------------（11分）
综上所述，实数k的取值范围是[0，e-1）．----------------------（12分）

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用分离参数法，构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．