Question

14．已知函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+1+a，（ω＞0），任意相邻两个对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
（1）求ω的值并求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若方程f（x）=0在$[0，\frac{3π}{4}]$上有两个不同的实根x₁，x₂，求a的取值范围和x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的周期，即可求出ω的值，利用正弦函数的单调增区间求解函数f（x）的单调递增区间．
（2）求出函数的值域，利用函数零点与方程根的关系求解即可．

解答 解：（1）∵任意相邻两个对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴周期T=π，---------（1分）
∴$\frac{2π}{ω}=π$，即ω=2，----------------------（2分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，（k∈Z）得：
k$π-\frac{π}{3}$≤x≤k$π+\frac{π}{6}$，（k∈Z）．
所以f（x）的增区间为$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]$，k∈Z，------------（4分）
（2）∵x∈$[0，\frac{3π}{4}]$，∴$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{5π}{3}$-------------------------（5分）
方程f（x）=0即2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1+a=0，2sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-（1+a）．
令y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），y=-（1+a）．
方程f（x）=0的根的个数也即函数y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）与y=-（1+a）．
图象交点的个数，
由图象（图象略）可知，方程有两个实根需满足1≤-（1+a）＜2或-2$＜-（1+a）≤-\sqrt{3}$，
所以，-3＜a≤-2或$\sqrt{3}-1≤a＜1$．
即  a的取值范围是$（-3，-2]∪[\sqrt{3}-1，1）$--------------（10分）．
由图象（图象略）可知，x₁+x₂=$\frac{π}{6}×2=\frac{π}{3}$，或x₁+x₂=$\frac{2π}{3}×2=\frac{4π}{3}$．----（12分）

点评 本题考查三角函数的解析式的求法，函数的单调性以及函数的值域，函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．