Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2ax²+3a²x+b（a＞0）．
（1）当y=f（x）的极小值为1时，求b的值；
（2）若f（x）在区间[1，2]上是减函数，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出f（3a）是函数的极小值，求出b的值即可；
（2）根据函数的单调性得到[1，2]⊆[a，3a]，求出a的范围化简．

解答 解：（1）f′（x）=x²-4ax+3a²=（x-a）（x-3a），
令f′（x）≥0，解得：x≤a，x≥3a，
令f′（x）＜0，解得：a＜x＜3a，
故f（x）在（-∞，a）递增，在（a，3a）递减，在（3a，+∞）递增，
由函数的单调性可知，函数在x=3a处取极小值，
即f（3a）=$\frac{1}{3}$（3a）³-2a（3a）²+3a²3a+b=1，
所以b=1；
（2）f′（x）=x²-4ax+3a²=（x-a）（x-3a），
要使f（x）在区间[1，2]上是减函数，
则导数在[1，2]小于等于0，
即[1，2]⊆[a，3a]，
故$\left\{\begin{array}{l}{3a≥2}\\{a≤1}\end{array}\right.$，
所以$\frac{2}{3}$≤a≤1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及集合的包含关系，是一道中档题．