Question

8．已知{a_n}，{b_n}为两非零有理数列（即对任意的i∈N^*，a_i，b_i均为有理数），{d_n}为一无理数列（即对任意的i∈N^*，d_i为无理数）．
（1）已知b_n=-2a_n，并且（a_n+b_nd_n-a_nd_n²）（1+d_n²）=0对任意的n∈N^*恒成立，试求{d_n}的通项公式．
（2）若{d_n³}为有理数列，试证明：对任意的n∈N^*，（a_n+b_nd_n-a_nd_n²）（1+d_n²）=1恒成立的充要条件为$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}=\frac{1}{{1+{d_n}^6}}}\\{{b_n}=\frac{{{d_n}^3}}{{1+{d_n}^6}}}\end{array}}$．
（3）已知sin2θ=$\frac{24}{25}$（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），d_n=$\root{3}{{tan（n•\frac{π}{2}+{{（-1）}^n}θ）}}$，试计算b_n．

Answer 1

分析 （1）由${d_n}^2+1≠0$，可得${a_n}{d_n}^2-{b_n}{d_n}-{a_n}=0$，由a_n≠0，可得${d_n}^2+2{d_n}-1=0$，解出即可得出．
（2）由$（{a_n}+{b_n}{d_n}-{a_n}{d_n}^2）（1+{d_n}^2）=1$，可得${a_n}+{b_n}{d_n}^3+{d_n}（{b_n}-{a_n}{d_n}^3）=1$，利用{d_n³}为有理数列，即可证明．
（3）由体积可得25tanθ=12+12tan²θ．分类讨论，利用{a_n}，{b_n}，$\left\{{{d_n}^3}\right\}$为有理数列，{d_n}为无理数列，即可得出．

解答 解：（1）∵${d_n}^2+1≠0$，∴${a_n}+{b_n}{d_n}-{a_n}{d_n}^2=0$，即${a_n}{d_n}^2-{b_n}{d_n}-{a_n}=0$，
∴${a_n}{d_n}^2+2{a_n}{d_n}-{a_n}=0$，
∵a_n≠0，∴${d_n}^2+2{d_n}-1=0$，∴${d_n}=-1±\sqrt{2}$．
（2）∵$（{a_n}+{b_n}{d_n}-{a_n}{d_n}^2）（1+{d_n}^2）=1$，∴${a_n}{d_n}^2+{a_n}+{b_n}{d_n}^3+{b_n}{d_n}-{a_n}{d_n}^4-{a_n}{d_n}^2=1$，
∴${a_n}+{b_n}{d_n}^3+{d_n}（{b_n}-{a_n}{d_n}^3）=1$，
∵{a_n}，{b_n}，$\left\{{{d_n}^3}\right\}$为有理数列，{d_n}为无理数列，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}+{b_n}{d_n}^3=1}\\{{b_n}-{a_n}{d_n}^3=0}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}=\frac{1}{{1+{d_n}^6}}}\\{{b_n}=\frac{{{d_n}^3}}{{1+{d_n}^6}}}\end{array}}\right.$，以上每一步可逆．
（3）$sin2θ=\frac{2tanθ}{{1+{{tan}^2}θ}}=\frac{24}{25}$，∴25tanθ=12+12tan²θ．
∵${d_n}=\root{3}{{tan（n•\frac{π}{2}+{{（-1）}^n}θ）}}$，∴${d_n}^3=tan（n•\frac{π}{2}+{（-1）^n}θ）$，
当n=2k（k∈N^*）时，∴${d_n}^3=tan（2k•\frac{π}{2}+θ）=tanθ$
当n=2k-1（k∈N^*）时，∴${d_n}^3=tan（（2k-1）•\frac{π}{2}-θ）=cotθ$，∴$\left\{{{d_n}^3}\right\}$为有理数列，
∵$（{a_n}+{b_n}{d_n}-{a_n}{d_n}^2）（1+{d_n}^2）=1$，∴${a_n}{d_n}^2+{a_n}+{b_n}{d_n}^3+{b_n}{d_n}-{a_n}{d_n}^4-{a_n}{d_n}^2=1$，
∴${a_n}+{b_n}{d_n}^3+{d_n}（{b_n}-{a_n}{d_n}^3）=1$，
∵{a_n}，{b_n}，$\left\{{{d_n}^3}\right\}$为有理数列，{d_n}为无理数列，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}+{b_n}{d_n}^3=1}\\{{b_n}-{a_n}{d_n}^3=0}\end{array}}\right.$，∴${b_n}=\frac{{{d_n}^3}}{{1+{d_n}^6}}$，
∴${b_n}=\frac{{{d_n}^3}}{{1+{d_n}^6}}=\frac{{tan（n•\frac{π}{2}+{{（-1）}^n}θ）}}{{1+{{tan}^2}（n•\frac{π}{2}+{{（-1）}^n}θ）}}=\frac{1}{2}sin（n•π+2{（-1）^n}θ）$
当n=2k（k∈N^*）时，∴${b_n}=\frac{1}{2}sin（2k•π+2θ）=\frac{1}{2}sin2θ=\frac{12}{25}$
当n=2k-1（k∈N^*）时，∴${b_n}=\frac{1}{2}sin（（2k-1）•π-2θ）=\frac{1}{2}sin2θ=\frac{12}{25}$，∴${b_n}=\frac{12}{25}$．

点评 本题考查了递推关系、数列的通项公式、三角函数求值、倍角公式、和差公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．