Question

20．已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x平行，求实数a的值及该切线方程；
（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，利用切线方程斜率关系求出a，然后求解切线方程．
（Ⅱ）解1：通过函数的导数与函数的单调性关系求出函数的极大值，即可得到a的范围．
解2：当a≥0时，验证不符题意，当a＜0时，通过函数的导数与单调性的关系，求出f（x）的最大值然后求解a的取值范围．

解答 （本小题12分）
（Ⅰ）解：$f'（x）=\frac{1}{x}+a=\frac{1+ax}{x}$，x＞0．----------------------------------------------------------（2分）
由已知可得f'（1）=1+a=2，解得a=1．---------------------------------------------------（3分）
因为f（1）=1，所以在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-1．------------------------（4分）
（Ⅱ）解1：若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤1成立，即$a≤\frac{1-lnx}{x}$成立．------------（6分）
设$g（x）=\frac{1-lnx}{x}$，--------------------------------------------------------------（7分）$g'（x）=\frac{lnx-2}{x^2}$，令g'（x）=0，解得x=e²，
则g'（x），g（x）的情况如下：

x	（0，e2）	e2	（e2+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	极大值	↗

---------------------------------------------（9分）
所以g（x）的最小值为g（e²）=-e^-2，------------------------------------------（10分）
所以，依题意只需实数a满足a≤-e^-2，---------------------------------------（11分）
故所求a的取值范围是（-∞，-e^-2]．--------------------------------------------（12分）
解2：当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）
又因为$f（1+\frac{1}{a}）=ln（1+\frac{1}{a}）+a+1＞1$，所以不符题意，舍．--------------------（6分）
当a＜0时，令f'（x）=0，得$x=-\frac{1}{a}$．----------------------------------------------（7分）
所以f'（x），f（x）随x的变化如下表所示：

x	$（0，-\frac{1}{a}）$	$-\frac{1}{a}$	$（-\frac{1}{a}，+∞）$
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗		↘

-----------------------------------------（9分）
所以f（x）的最大值为$f（-\frac{1}{a}）$，------------------------------------------------------（10分）
所以，依题意只需$f（-\frac{1}{a}）=ln（-\frac{1}{a}）-1≤1$即可，解得a≤-e^-2．---------------（11分）
综上，a的取值范围是（-∞，-e^-2]．---------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，切线方程的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．