Question

17．已知曲线C的极坐标方程为ρ²-2$\sqrt{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）-2=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．
（1）若直线l过原点，且被曲线C截得的弦长最小，求直线l的直角坐标方程；
（2）若M是曲线C上的动点，且点M的直角坐标为（x，y），求x+y的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标互化方法得到C的直角坐标方程，直线l过原点，且被曲线C截得的弦长最小，则直线l与OC垂直，可得l的斜率为1，即可求直线l的直角坐标方程；
（2）利用圆的参数方程，即可求x+y的最大值．

解答 解：（1）ρ²-2$\sqrt{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）-2=0，即ρ²-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0，
∴x²+y²-2x+2y-2=0，即（x-1）²+（y+1）²=4，
圆心坐标C（1，-1），直线l过原点，且被曲线C截得的弦长最小，
则直线l与OC垂直，可得l的斜率为1，
∴直线l的直角坐标方程为y=x；
（2）若M是曲线C上的动点，且点M的直角坐标为（x，y），
设x=1+2cosθ，y=-1+2sinθ，
∴x+y=2sinθ+cosθ=2$\sqrt{2}$sin（θ+45°）
当sin（θ+45°）时，x+y的最大值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查极坐标与直角坐标互化，考查直线方程，考查参数方程的运用，属于中档题．