Question

3．一个圆经过椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的方程为（x±1）²+y²=4．

Answer 1

分析 由椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$，可得顶点（±3，0），$（0，±\sqrt{3}）$．设要求的圆的标准方程为：（x+t）²+y²=r²，把（3，0），$（0，±\sqrt{3}）$，代入可得：（3+t）²=r²，t²+3=r²，解得t，r．可得圆的方程．同理把：（-3，0），$（0，±\sqrt{3}）$，代入可得：圆的方程．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$，可得顶点（±3，0），$（0，±\sqrt{3}）$．
设要求的圆的标准方程为：（x+t）²+y²=r²，
把（3，0），$（0，±\sqrt{3}）$，代入可得：（3+t）²=r²，t²+3=r²，解得t=-1，r=2．可得圆的方程为：（x-1）²+y²=4．
同理把：（-3，0），$（0，±\sqrt{3}）$，代入可得：圆的方程为：（x+1）²+y²=4．
故答案为：（x±1）²+y²=4．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．