Question

13．第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为工作需要，组委会拟定组建一个“五人接待小组”，先在各中学进行海选，招募了12名男生和18名女生志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm）．若身高
在175cm以上（含175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不含175cm）定义为“非高个子”．
（1）从这30名志愿者选出5人，且5人中有“女高个子”，则有多少种不同的选法？
（2）若用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

Answer 1

分析 （1）由茎叶图知，30名志愿者中有4个“女高个子”，利用间接法能求出从30名志愿者选出5人，且5人中有“女高个子”的选法．
（2）根据茎叶图，有“高个子”12个，“非高个子”18个，用分层抽样的方法，选中，“高个子”有2人，“非高个子”有3人，由此利用对立事件概率计算公式能求出“至少有一名“高个子”被选中”的概率．

解答 解：（1）由茎叶图知，30名志愿者中有4个“女高个子”，
则从30名志愿者选出5人，且5人中有“女高个子”的选法：
$C_{50}^5-C_{26}^5$  …（4分）
=142506-65780=76726．…（6分）
（2）根据茎叶图，有“高个子”12个，“非高个子”18个，…（7分）
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是$\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$．…（8分）
所以选中，“高个子”有$12×\frac{1}{6}=2$人，“非高个子”有$18×\frac{1}{6}=3$人，…（9分）
用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，
则它的对立事件$\overrightarrow A$表示“没有有一名“高个子”被选中”，
则$P（A）=1-P（\overrightarrow A）=1-\frac{C_3^2}{C_5^2}=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$．…（11分）
因此，“至少有一名“高个子”被选中”的概率是$\frac{7}{10}$．…（12分）

点评 本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．