Question

5．如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠D=90°，且AB∥CD，AB=AD，∠BCD=45°．
（1）点F在线段PC上何位置时，BF∥平面PAD？并证明你的结论．
（2）当直线PB与平面ABCD所成的角为45°时，求二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

分析 （1）取PD的中点M，连接FM，AM．推导出四边形ABFM为平行四边形，从而BF∥AM，由此求出当F为线段PC中点时，BF∥平面PAD．
（2）以A点为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的大小．

解答 解：（1）当F为PC的中点时，BF∥平面PAD．（2分）
证明如下：
取PD的中点M，连接FM，AM．
由AB=AD，∠BCD=45°，得AB=$\frac{1}{2}$CD=FM．
又FM∥CD∥AB，
所以四边形ABFM为平行四边形，所以BF∥AM．（4分）
又AM?平面PAD，BF?平面PAD，
所以BF∥平面PAD．（6分）
（2）由题意知AB，AD，AP两两垂直，
则以A点为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角，则∠PBA=45°，所以PA=AB．
设PA=AB=AD=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C（2，1，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{PC}$=（2，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，1，-1）．（8分）
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{PB}$?$\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{PC}$?$\overrightarrow{n}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-z=0}\\{2x+y-z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1）．（10分）
同理可以求出平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=0，
∴平面PBC⊥平面PCD，即二面角B-PC-D为90°．（12分）

点评 本查满足线面平行的点的位置的确定与求法，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．