Question

15．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=2，且f（x）的导函数f′（x）＜$\frac{2}{3}$，则f（x）＜$\frac{2x}{3}$+$\frac{4}{3}$的解集为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-1，∞）∪（2，+∞）
• C． （-∞，2）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 构造函数，g（x）=f（x）-$\frac{2}{3}$x，判断出函数的单调性，则不等式f（x）＜$\frac{2x}{3}$+$\frac{4}{3}$转化为g（x）＜g（1），解得即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{2}{3}$x，
∴g′（x）=f′（x）-$\frac{2}{3}$，
∵f（x）的导函数f′（x）＜$\frac{2}{3}$，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在R上为减函数，
又f（1）=2，
∴g（1）=f（1）-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∵f（x）＜$\frac{2x}{3}$+$\frac{4}{3}$，
∴f（x）-$\frac{2x}{3}$＜$\frac{4}{3}$，
∴g（x）＜g（1），
∴x＞1，
故选：A

点评 本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．