Question

10．已知函数f（x）=（3-a）x-2+a-2lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a≤3，试讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）＞x在（0，$\frac{1}{2}$）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数$f'（x）=（3-a）-\frac{2}{x}（x＞0）$，通过当a＜3时，当a=3时，当a＜3时，分别求解函数的单调区间即可．
（Ⅱ）转化不等式（2-a）（x-1）-2lnx＞0在$（0，\frac{1}{2}）$上恒成立，分离变量，构造函数，通过形式的单调性，求解最值，然后推出结果．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=（3-a）-\frac{2}{x}（x＞0）$，…（1分）
当a＜3时，由f'（x）＞0，得$x＞\frac{2}{3-a}$，
由f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{2}{3-a}$，…（3分）
所以f（x）的单调递增区间是$（\frac{2}{3-a}，+∞）$，单调递减区间是$（0，\frac{2}{3-a}）$．…（4分）
当a=3时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
此时f（x）的单调递增区间是（0，+∞），…（5分）
综上，当a=3时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当a＜3时，f（x）的单调递增区间是$（\frac{2}{3-a}，+∞）$，单调递减区间是$（0，\frac{2}{3-a}）$．…（6分）
（Ⅱ）由题意得（2-a）（x-1）-2lnx＞0在$（0，\frac{1}{2}）$上恒成立，
即对$x∈（0，\frac{1}{2}）$，$a＞2-\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，…（7分）
令$g（x）=2-\frac{2lnx}{x-1}$，则${g^/}（x）=\frac{{2lnx+\frac{2}{x}-2}}{{{{（x-1）}^2}}}$，…（8分）
再令$h（x）═2lnx+\frac{2}{x}-2，x∈（0，\frac{1}{2}）$，则${h^/}（x）=\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}=-\frac{2（1-x）}{x^2}＜0$，
故h（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上是减函数，于是$h（x）＞h（\frac{1}{2}）=2-2ln2＞0$，…（10分）
从而g′（x）＞0，所以g（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上是增函数，$g（x）＜g（\frac{1}{2}）=2-4ln2$，…（11分）
故要$a＞2-\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，只要a≥2-4ln2，
所以实数a的取值范围为[2-4ln2，+∞）．…（12分）
（其他做法酌情给分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查构造法以及转化思想的应用，考查计算能力．