Question

9．以抛物线x²=4y的焦点F为圆心的圆交抛物线于A、B两点，交抛物线的准线于C、D两点，若四边形ABCD是矩形，则圆的方程为（　　）

• A． x²+（y-1）²=3
• B． x²+（y-1）²=4
• C． x²+（y-1）²=12
• D． x²+（y-1）²=16

Answer 1

分析 连接AC，BD，抛物线的定义与性质求出圆心坐标为F（0，1），|FA|=|FB|，设圆的半径r，∠FAB=θ，则A（rcosθ，1+rsinθ），而A在抛物线上，化简求解即可．

解答 解：如图，连接AC，BD，抛物线x²=4y的焦点坐标（0，1），
由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F（0，1），|FA|=|FB|，设圆的半径r，
∠FAB=θ，则A（rcosθ，1+rsinθ），而A在抛物线上，
故r²cos²θ=4+4rsinθ，又rsinθ=2，所以$sinθ=\frac{1}{2}$，$θ=\frac{π}{6}$，∴r=4，
所求圆的方程为：x²+（y-1）²=16．
故选D．

点评 本题考查抛物线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．