Question

19．设A、B为抛物线y²=2px（p＞0）上相异两点，则$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|^2}-|\overrightarrow{AB}{|^2}$的最小值为（　　）

• A． -4p²
• B． -3p²
• C． -2p²
• D． -p²

Answer 1

分析 设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）．则$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|^2}-|\overrightarrow{AB}{|^2}=4（{x_A}{x_B}+{y_A}{y_B}）$，分类讨论，结合韦达定理，即可得出结论．

解答 解：设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）．则$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|^2}-|\overrightarrow{AB}{|^2}=4（{x_A}{x_B}+{y_A}{y_B}）$，
若直线AB斜率存在，设为y=k（x-a），联立得k²x²-2（ak²+p）x+k²a²=0，
则${x_A}{x_B}={a^2}$，${y_A}{y_B}={k^2}（{x_A}-a）（{x_B}-a）=-2ap$．$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|^2}-|\overrightarrow{AB}{|^2}=4（{a^2}-2ap）=4[{（a-p）^2}-{p^2}]≥-4{p^2}$．
若直线不存在，当${x_A}={x_B}=a\;，\;\;{y_A}=-{y_B}=\sqrt{2ap}$时上式也成立．故所求最小值为-4p²．
当且仅当直线AB过点（p，0）时等号成立．
故选A．

点评 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了学生的计算能力，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．