Question

7．已知函数f（x）=x（lnx-ax）．
（1）a=$\frac{1}{2}$时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）存在两个不同的极值x₁，x₂，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求f（x）在（0，a]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=lnx-2ax+1，由此利用导数的几何意义能出过点（1，f（1））的切线方程．
（2）令g（x）=f′（x）=lnx-2ax+1，则${g}^{'}（x）=\frac{1-2ax}{x}$，由此利用导数性质及分类讨论思想能求出a的取值范围．
（3）0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（x）有两个极值点x₁，x₂，f（x）在（0，x₁）上递减，在（x₁，x₂）上递增，在（x₂，+∞）上递减，令h（x）=lnx+1-2x²，（0＜x＜1），${h}^{'}（x）=\frac{1-4{x}^{2}}{x}$，由此利用导数性质能求出f（x）的最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x（lnx-ax），
∴f′（x）=lnx-2ax+1，…（1分）
当a=$\frac{1}{2}$ 时，f′（1）=0，且f（1）=-$\frac{1}{2}$，
∴过点（1，f（1））的切线方程为y=-$\frac{1}{2}$．…4 分 
（2）令g（x）=f′（x）=lnx-2ax+1，则${g}^{'}（x）=\frac{1-2ax}{x}$，
当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
g（x）与X轴只有一个交点即f（x）只有一个极值点，不合题意．…（5分）
当a＞0时，x∈（0，$\frac{1}{2a}$）时，g′（x）＞0，g（x）在（0，$\frac{1}{2a}$）上递增，
x∈（$\frac{1}{2a}，+∞$）时，g′（x）＜0，g（x）在（$\frac{1}{2a}，+∞$）上递减，
只需g（$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$＞0，即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（x）有两个极值点
故0＜a＜$\frac{1}{2}$．…（8分）
（3）由（2）知 0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（x）有两个极值点x₁，x₂，
f（x）在（0，x₁）上递减，在（x₁，x₂）上递增，在（x₂，+∞）上递减，
又f′（1）=1-2a＞0，则0＜x₁＜1，且lnx₁-2ax₁+1=0，
解得a=$\frac{ln{x}_{1}+1}{2{x}_{1}}$，此时a-x₁=$\frac{ln{x}_{1}+1-2{{x}_{1}}^{2}}{2{x}_{1}}$，…（10分）
令h（x）=lnx+1-2x²，（0＜x＜1），${h}^{'}（x）=\frac{1-4{x}^{2}}{x}$，
从而h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上递增，（$\frac{1}{2}$，1）上递减，
故h（x）≤h（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}＜0$，
所以a＜x₁，又f（x）在（0，x₁）上递减，
从而f（x）的最小值为f（a）=a（lna-a²）．…（12分）

点评 本题考查切线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．