Question

15．已知函数f（x）=ax-lnx．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（e，f（e））（e为自然对数的底）处的切线方程；
（2）当x∈（0，e]时，是否存在实数a，使得f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出a=1时f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可得到所求切线方程；
（2）假设存在实数a，使得f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]的最小值为3，对a讨论：当a≤0时，当$0＜\frac{1}{a}＜e$，即$a＞\frac{1}{e}$时，当$\frac{1}{a}≥e$，即$0＜a≤\frac{1}{e}$时，求出单调区间，可得最小值，解方程即可得到所求a的值．

解答 解：（1）当a=1时，函数f（x）=x-lnx的导数为$f'（x）=1-\frac{1}{x}$，
所以切线斜率$k=f'（e）=\frac{e-1}{e}，f（e）=e-1$，
所以切线方程为$y-（e-1）=\frac{e-1}{e}（x-e）$，
即$y=\frac{e-1}{e}x$．
（2）假设存在实数a，使得f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]的最小值为3，
$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$，0＜x≤e，
①当a≤0时，因为x∈（0，e]，所以f'（x）＜0，
所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）_min=f（e）=ae-1=3得$a=\frac{4}{e}$（舍去）；
②当$0＜\frac{1}{a}＜e$，即$a＞\frac{1}{e}$时，f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上单调递减，在$（{\frac{1}{a}，e}]$上单调递增，$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{a}）=1+lna=3$得a=e²满足．
③当$\frac{1}{a}≥e$，即$0＜a≤\frac{1}{e}$时，因为x∈（0，e]，所以f'（x）≤0，
所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，得$a=\frac{4}{e}$（舍去）．
综上，存在实数a=e²满足题意．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，考查存在性问题的解法，同时考查分类讨论思想方法，化简整理运算能力，属于中档题．