Question

20．如图，正△ABC中，点D在边AC上，E，G在边AB上，且AB=3AG=6，AD=λAC，AE=（1-λ）AB，（0＜λ＜1），BD，CE相交于点F
（1）证明：A，E，F，D四点共圆；
（2）当点E是BG中点时，求线段FG的长度．

Answer 1

分析 （1）先证明△BCE≌△ABD，得到∠BEC=∠ADB，再利用对角互补四点共圆，即可证明；
（2）证明以AE为直径的圆圆心为G，即可求线段FG的长度．

解答 （1）证明：∵AE=（1-λ）AB，∴BE=λAB．
∵AD=λAC，∴BE=AD，
又∠CBE=∠BAD，CB=BA，
∴△BCE≌△ABD，∴∠BEC=∠ADB，
∴∠ADB+∠AEC=180°，∴A，E，F，D四点共圆；                                                                   …（4分）
（2）解：连接DE，GF，

∵BE=AD=2，AE=4，A=60°，∴AD⊥DE，
∴以AE为直径的圆圆心为G，∴$GF=\frac{1}{2}AE=2$…（6分）

点评 本题考查对角互补四点共圆，考查圆的直径的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．