Question

10．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d为奇函数，且在x=-1处取得最大值2
（1）求f（x）的解析式；
（2）过点A（1，t）（t≠-2）可作函数f（x）图象的三条切线，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）为奇函数，可得f（-x）+f（x）=0，可得b=d=0．由f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c，在x=-1处取得最大值2，则$\left\{\begin{array}{l}{{f}^{′}（-1）=3a+c=0}\\{-a-c=2}\end{array}\right.$，解得即可得出；
（2）设切点为（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={x}_{0}^{3}-3{x}_{0}}\\{\frac{{y}_{0}-t}{{x}_{0}-1}=3{x}_{0}^{2}-3}\end{array}\right.$，消去y可得，t=-2${x}_{0}^{3}$+3${x}_{0}^{2}$-3，令u（x）=-2x³+3x²-3，利用导数研究函数u（x）的单调性极值即可得出．

解答 解：（1）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，2bx²+d=0恒成立，可得b=d=0．
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c，
∵在x=-1处取得最大值2，则$\left\{\begin{array}{l}{{f}^{′}（-1）=3a+c=0}\\{-a-c=2}\end{array}\right.$，
解得a=1，c=-3．
∴f（x）=x³-3x．
（2）设切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={x}_{0}^{3}-3{x}_{0}}\\{\frac{{y}_{0}-t}{{x}_{0}-1}=3{x}_{0}^{2}-3}\end{array}\right.$，消去y可得，t=-2${x}_{0}^{3}$+3${x}_{0}^{2}$-3，
令u（x）=-2x³+3x²-3，u′（x）=-6x²+6x=-6x（x-1），
令u′（x）=0，解得x=0，1．
则函数u（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递减，在（0，1）上单调递增．
u（0）=-3，u（1）=-2．
过点A（1，t）（t≠-2）可作函数f（x）图象的三条切线，
则t的取值范围是（-3，-2）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．