Question

5．设函数f（x）=x³-4x-a，0＜a＜2．若f（x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则（　　）

• A． x₁＜-2
• B． x₂＞0
• C． x₃＜1
• D． x₃＞2

Answer 1

分析 利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．

解答 解：∵函数f （x）=x³-4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x²-4．
令f′（x）=0，可得 x=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∵当x＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，f′（x）＞0；在（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）上，f′（x）＜0；
在（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）上，f′（x）＞0．
故函数在（-∞，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）上是增函数，在（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）上是减函数，在（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）上是增函数．
故f（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）是极大值，f（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）是极小值．
再由f（x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，可得 x₁＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜x₂＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，x₃＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
根据f（0）=a＞0，且f（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=a-$\frac{16\sqrt{3}}{9}$＜0，可得 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$＞x₂＞0，
故选：B．

点评 本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．