Question

16．已知函数f（x）=ax³-x²+4x+3，若在区间[-2，1]上，f（x）≥0恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． [-6，-2]
• B． $[-6，-\frac{9}{8}]$
• C． [-5，-3]
• D． [-4，-3]

Answer 1

分析 分x=0，0＜x≤1，-2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集

解答 解：解：当x=0时，不等式ax³-x²+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；
当0＜x≤1时，ax³-x²+4x+3≥0可化为a≥$\frac{1}{x}$$-\frac{4}{{x}^{2}}$$-\frac{3}{{x}^{3}}$，
令f（x）=$\frac{1}{x}$$-\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，则f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$$+\frac{8}{{x}^{3}}$+$\frac{9}{{x}^{4}}$=-$\frac{（x-9）（x+1）}{{x}^{4}}$（*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）_max=f（1）=-6，∴a≥-6；
当-2≤x＜0时，ax³-x²+4x+3≥0可化为a≤$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$$-\frac{3}{{x}^{3}}$，
由（*）式可知，当-2≤x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）_min=f（-1）=-2，∴a≤-2；
综上所述，实数a的取值范围是-6≤a≤-2，即实数a的取值范围是[-6，-2]．
故答案为：[-6，-2]．

点评 本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．